Newton et les lois du mouvement

La Lune tombe t’elle sur la terre ?

L’anecdote de la « pomme et de la lune » remonte à 1665 ; Newton avait alors vingt-trois ans. A cette époque, on savait que la lune était animée d’un mouvement circulaire uniforme autour de la terre ; on connaissait aussi les expériences de Galilée sur la chute libre.

Newton eut l’intuition que le mouvement circulaire de révolution de la lune autour de la terre résultait du « compromis » entre un mouvement de chute vers la terre, et sa tendance à continuer tout droit en l’absence de force (son inertie).

Ainsi, pour Newton, la lune « tombait » comme la pomme, en ce sens qu’elle s’écartait de la ligne droite qu’elle aurait suivi en absence de toute force appliquée : il fallait tout le génie de Newton pour penser cela alors que chacun peut constater que la lune ne se rapproche pas de nous ! 

C’est peut être en rêvant au claire de lune sous un pommier que Newton s’est demandé « pourquoi la lune ne tombe t‘elle pas comme ces pommes ? »

Les lois du mouvement des corps

Pour formuler les intuitions avec plus de rigueur, Newton cherche à déterminer les causes du mouvement des corps. Il repart des lois obtenu par ses prédécesseurs, Galilée et Kepler, et c’est en 1687 qu’il énonce, dans son ouvrage intitulé ‘’Philosophiae naturalis principia mathematica’’ les lois permettant de prévoir le mouvement d’un corps.

La première reprend le principe d’inertie, pressenti par Galilée :

Un corps peut être en mouvement sans être soumis à aucune force ; sa vitesse reste alors constante en direction, sens et intensité (mouvement rectiligne uniforme).

La deuxième établit une relation entre les notions de force et de variation de vitesse dans le temps, donc l’accélération :

Si la vitesse d’un corps varie, en direction ou en intensité, c’est qu’une force s’exerce sur ce corps.

Cette force est de même direction et de même sens que la variation du vecteur vitesse observée. Elle est proportionnelle à son accélération.

Une force est responsable de la variation de la vitesse d’un corps, en direction ou en intensité

Dans le cas d’un mouvement circulaire et uniforme, la vitesse reste constante en norme mais change en direction. On montre que la variation du vecteur vitesse dans le temps, et donc l’accélération, sont centripètes : elles sont dirigées vers le centre du cercle. Nous le vérifierons en travaux pratique « Travaux pratique mouvement circulaire uniforme »

chronophotographie d’un mobile autoporteur animé d’un mouvement circulaire et uniforme

Une force s’exerce donc sur le corps en mouvement, dirigée vers le centre du cercle : elle est centripète. Il en est ainsi d’un mobile autoporteur en mouvement circulaire et uniforme sur une table horizontale : il est soumis à la tension du fil, force centripète.

Donc un mouvement circulaire uniforme, l’accélération et la force sont centripètes.

Cliquer sur le lien pour suivre l’article sur la gravitation universelle.

Mouvement circulaire uniforme des planètes

L’approximation du mouvement circulaire uniforme

• Les trajectoires des planètes sont des ellipses de très faible excentricité ; on peut donc les assimiler à des cercles. D’après la première loi de Kepler, le soleil est alors au centre du cercle, puisque le cercle est une ellipse dont les deux foyers sont confondus au centre du cercle.

• En vertu de la loi des aires, si le mouvement d’une planète est circulaire il est circulaire uniforme. En effet, pour que les rayons vecteurs repérant les positions des planètes dans leur mouvement autour du Soleil balayent des aires égales pendant des temps égaux, il faut que la vitesse de la planète soit constante en norme.

Le mouvement des planètes est un mouvement approximativement circulaire et uniforme, dont le centre est le soleil.

Mouvement circulaire uniforme d’une planète autour du soleil

Vitesse angulaire de rotation

La période T est le temps mis par la planète pour effectuer un tour complet. Or, pour un tour, elle effectue une rotation d’un angle égale à 2Π radians. On en déduit l’expression de la vitesse angulaire.

Dans le cas du mouvement circulaire uniforme, la vitesse angulaire de rotation s’exprime par : ω = 2Π/T. Où T est la période de rotation. Elle est constante.

Dans le système international, l’unité de vitesse angulaire est le radian par seconde (symbole : rad.s^-1).

Vecteur vitesse

Lors d’un mouvement circulaire uniforme, la vitesse de la planète est constante en norme. Le périmètre du cercle, 2Πr, est effectué en un tour, soit la durée T d’une période. La norme du vecteur vitesse vaut donc : v = 2Πr/T = rω.

Lors d’un mouvement circulaire de rayon r, le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire

 Le vecteur vitesse à l’instant t du centre d’inertie d’une planète animée d’un mouvement circulaire de rayon r est un vecteur :

• -          Tangente à la trajectoire au point où elle se trouve à cet instant ;
• -          Dirigé dans le sens du mouvement ;
• -          De norme v = 2Πr/T = rω.

 Cliquer ici pour voir l’exemple N2 d’application résolu.

La leçon suivante consiste à suivre Galilée et l’approche scientifique.

Les lois de Kepler

De Tycho Brahé à Kepler

Tycho Brahé et l’observation astronomique (fin du XVI siècle)

Tycho Brahé

Pour pouvoir se prononcer sur la nature exacte du mouvement des planètes autour du soleil il fallait les observer régulièrement, et avec précision. C’est au danois Tycho Brahé que l’on doit une observation méticuleuse et systémique de l’évolution de la position des planètes dans le ciel.

Expérimentateur talentueux, il augmenta d’un facteur dix la précision de mesures, la résolution passant d’un demi-degré à deux secondes d’angle, à une époque où, en l’absence de la lunette astronomique et de télescope, on observait le ciel à l’œil nu !

Kepler découvre les lois empiriques du mouvement des planètes (début du XVII siècle)

Kepler, calculateur infatigable, chercha pendant des années à établir les lois du mouvement des planètes. Il émit différentes hypothèses, tentant de le faire concorder avec les mesures de Tycho Brahé, en lesquelles il avait toute confiance.

C’est en 1619 qu’il énonça les deux premières lois concernant la trajectoire et la vitesse des planètes. Il lui faudra dix ans de plus pour découvrir et énoncer la troisième loi, celle reliant entre elles les différentes périodes de révolution des planètes autour du soleil.

Première loi de Kepler : Les trajectoires de planètes

Une ellipse de foyer F₁ et F₂ est le lieu des points M, tels que la somme des distances de ce point aux deux points fixes F₁ et F₂ reste constante. Cette constante est égale au grand axe de l’ellipse, et est notée 2a.

F₁M + F₂M = 2a.

Le rapport entre la distance des deux foyers (2c) et le grand axe (2a), mesure l’excentricité e de l’ellipse : e = c/a.

Plus l’excentricité est faible, plus l’ellipse se rapproche d’un cercle ; si les deux foyers sont confondus (c = 0), l’ellipse est un cercle, et l’excentricité est nulle.

Les planètes décrivent autour du soleil des ellipses dont le soleil est l’un des foyers.

Une ellipse de foyer F1 et F2 : a représente le demi-grand axe, b le demi-petit axe. L’excentricité e = c/a

Remarque : Les trajectoires des planètes présentent en fait une assez faible excentricité et sont donc proches de trajectoires circulaires, sauf pour Pluton, Mercure et Mars.

Deuxième loi de Kepler : la loi des aires

Les rayons vecteurs, repérant les positions des planètes dans leur mouvement autour du soleil, balayent des aires égales pendant les temps égaux.

Le rayon vecteur correspond à la droite joignant le soleil au point repérant la position de la planète sur son orbite (image suivante). L’aire balayée pendant l’intervalle de temps  correspond à la surface délimité par l’arc de l’orbite parcouru par la planète pendant  et les deux rayons vecteurs. 

En des parties différentes de l’orbite des surfaces balayées pendant des intervalles de temps  égaux sont donc égales.

Les surfaces balayées par une planète pendant des intervalles de temps  égaux sont égales : on dit que la trajectoire est décrite suivant la loi des aires.

Troisième loi de Kepler : les périodes de révolution des planètes autour du soleil.

Le carré de la période T de révolution d’une planète autour du soleil est proportionnel au cube de son demi-grand axe orbital a, soit : T²/a³ = constante.

Cette constante de proportionnalité est la même pour toutes les planètes du système solaire.

Cliquer ici pour voir l’exemple N1 d’application résolu.

Après Kepler, les mouvements uniformes des planètes feront l’objet de la suite des leçons. Cliquer sur le lien pour y accéder.

Référentiels géocentrique et héliocentrique

Relativité du mouvement

En science physique, la trajectoire d’un mobile dépend du repère choisi : ainsi, les mouvements de Mars sont différents selon qu’on les observe depuis la terre ou depuis le soleil. A ces deux observations correspondent deux repères, un géocentrique, et l’autre héliocentrique.

Un repère héliocentrique est un repère dont l’origine est au centre du soleil, et dont les axes pointent vers trois étoiles que l’on considère comme « fixe ».

Un repère géocentrique est un repère dont l’origine est au centre de la terre, et dont les axes restent constamment parallèles à ceux du repère héliocentrique.

Un repère géocentrique est donc en translation circulaire par rapport au repère héliocentrique.

Remarque : Les « fixes » sont des étoiles dont les positions par rapport au centre d’inertie du soleil n’ont pas varié depuis plusieurs centaines d’années.

Référentiel héliocentrique et référentiel géocentrique

Référentiels géocentrique et héliocentrique

Un repère héliocentrique et un repère de temps constituent un référentiel héliocentrique.

Dans un référentiel héliocentrique, le centre de la terre décrit une trajectoire plane, sensiblement circulaire autour du soleil. Le plan de cette trajectoire est appelé elliptique.

La période orbitale de rotation du centre de la terre autour du soleil est égale à une année sidérale, soit environ 365,256 jours.

Un repère géocentrique et un repère de temps constituent un référentiel géocentrique.

La terre est animée d’un mouvement de rotation sur elle-même, donc par rapport au référentiel géocentrique, dont l’axe de rotation n’est pas tout à fait perpendiculaire à l’écliptique. La période de rotation propre est égale à un jour sidérale, soit environ 23 h 56 min 4 s.

Plan de l’écliptique, et d’inclinaison de la terre

Les debuts de l'astronomie

   Selon Paul Valéry, «Il fallait être Newton pour remarquer que la Lune tombe quant tout le monde voie qu’elle ne tombe pas. »

Paul Valéry

   L’astronomie sans doute la plus ancienne des sciences, a donné naissance à la mécanique. La cinématique cherche à décrire aussi exactement que possible le mouvement d’un corps l’analyse des positions successives qu’il occupe à chaque instant. La dynamique se veut plus ambitieuse. Elle se donne pour objectif de déterminer les causes de son mouvement et de prévoir son évolution au cours du temps.

Débuts de l’astronomie

Ptolémée et le géocentrisme

   Par une belle nuit, observons un ciel étoilé pendant un temps suffisamment long : toutes les étoiles paraissent tourner lentement autour de l’étoile Polaire.

   C’est pourquoi les anciens pensaient que les étoiles étaient « fixées » su la surface intérieur d’une sphère, appelée sphère des fixes, et qui tournait autour de la terre avec une période d’un jour ; pour eux, la terre restait immobile au centre de l’univers.

   C’est l’astronome Grec Ptolémée qui, en l’an 140, exposa cette vision géocentrique du monde, dans un ouvrage intitulé l’Almageste.

Ptolémée

Le géocentrisme est la théorie selon laquelle la terre est immobile au centre de l’univers, tous les autres astres tournant autour d’elle.

   Cependant, certaines observations ne concordaient pas avec cette théorie : en effet, pendant une petite partie de leur mouvement, des planètes comme Mars, Jupiter et Saturne, semblent revenir sur leur pas (mouvement dit « rétrograde ») avant de reprendre leurs course dans le bon sens. Le mot « planète » vient d’ailleurs d’un mot grec signifiant « astre errant ».

   Enfin, l’éclat de ces astres variait également, sur une longue période d’observation, laissant à penser que leur distance à la terre devait varier.

Le géocentrisme ne permet pas d’expliquer le mouvement rétrograde observé pour certaines planètes.

Copernic et l’héliocentrisme

   Nicolas Copernic étais un astronome polonais qui travaillait sur le problème de reforme du calendrier (on sait que tout calendrier est basé sur l’observation des mouvements des astres). Pour les raisons de commodité, il fut amené à renoncer au système de Ptolémée, et à proposer une conception héliocentrique du monde.

Dans la théorie de l’héliocentrisme, la terre, comme les autres planètes tourne autour du soleil.

   Ce changement de point de vue est une véritable révolution. Le mouvement rétrograde des planètes, observé depuis la terre, comme celui de Mars, trouve une explication plus rationnelle. En effet, la terre tourne, comme les autres planètes, autour du soleil. Mais chaque planète ne tourne pas avec la même vitesse, leurs vitesse angulaires varient avec les distances qui les séparent du soleil. D’où l’explication de ce mouvement rétrograde apparent.

L’héliocentrisme donne une explication simple du mouvement apparent des planètes observé depuis la terre.

Historique, mécanique et l'électromagnétisme

Au II^e siècle de notre ère, Ptolémée présente une théorie expliquant le mouvement du soleil et des planètes autour de la terre. Celle si est supposée fixe, et accompagné par des combinaisons complexes de mouvements circulaires. Cette vision géocentrique du mode perdurera jusqu’au XV siècle, où s’imposera la théorie héliocentrique de Copernic.

Géocentrisme et héliocentrisme

  La conception de l’héliocentrisme existait toutefois bien avant Ptolémée, puisqu’elle apparait dans l’œuvre d’Aristarque de Samos, trois siècles avant JC. C’est à Copernic que l’on en doit le nouveau.

  La conception de l’héliocentrisme existait toutefois bien avant Ptolémée, puisqu’elle apparait dans l’œuvre d’Aristarque de Samos, trois siècles avant JC. C’est à Copernic que l’on en doit le nouveau.

  En 1604, Galilée (1564-1642) découvre les premières lois de la chute des corps à la surface de la terre. En 1610, il utilise une lunette pour observations astronomiques : Elle lui permette de voir des montagnes sur la lune, la voie lactée, et de découvrir l’existence des satellites de Jupiter. Il observe les phases de venus et montre ainsi la rotation de cette planète autour du soleil.

Galilée (1564-1642)

  A partir des travaux de Galilée et de Kepler, Newton (1643-1727) cherche à modéliser les lois du mouvement. En 1687 il énonce, dans son ouvrage PRINCIPIA, les lois de la dynamique et découvre la loi de la gravitation universelle.

  Les débuts de l’électromagnétisme furent plus tardifs : cités par Thalès de Milet (début du VI siècle av. J.-C), l’étude de l’électricité ne commença vraiment qu’à la renaissance. La première machine électrostatique fut mise au point par OTTO VON Guericke (1602-1686). Celle-ci permit l’observation de l’attraction, la répulsion et la conduction électrique.

  Benjamin franklin (1706-1790), l’inventeur du paratonnerre, énonce le principe de conservation de l’électricité. Coulomb (1736-1806) réussit à montré que la force électrique entre deux charges varie comme l’inverse du carré de leur distance.

Binjamin franclin (1706-1790)

Jusqu’en 1820, date où Oerster découvrit qu’un courant électrique pouvais crée un champ magnétique, l’existence du magnétisme semblait totalement séparé de celle de l’électricité. Partant de cette expérience, André-Marie Ampère (1775-1836) établit en quelques semaines les bases de l’électromagnétisme. Il crée la notion de courant électrique et donne une formulation mathématique aux phénomènes observés. Pour cette raison, Ampère fut considéré comme le « Newton» de l’électricité. Ses travaux l’ont amené à réaliser des dispositifs comme le galvanomètre et l’électroaimant.

André-Marie Ampère

L’unité des lois de l’électricité et du magnétisme fut réalisée par Maxwell (1831-1879) dans un groupe d’équation qui porte son nom. Ampère est un Physicien français, il étudia l’aimantation de la matière et établit les bases de l’électromagnétisme.